Esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam ovolume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

S^o = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S¹ = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.

 Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

Área da superfície esférica e volume da esfera

A área da superfície esférica de raio R é dada por:

 O volume da esfera de raio R é dado por:

Secção de uma esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

 Sendo OO’ = d, temos:

 Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

Curiosidades

Aqui vai uma imagem de objetos de nossa casa, tudo tem uma forma geometrica particular.
Veja em sua casa outros objetos.

Pirâmides

O conceito de pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide. 

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

 

1.      Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

2.      Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

3.      Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

4.      Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

5.      Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

6.      Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

7.      Apótema: É a altura de cada face lateral.

8.      Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

9.      Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

Pirâmide Regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

Pirâmide Oblíqua

A pirâmide oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela nao terminará no centro do polígono da base.

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A (lateral) + A (base)

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base).h

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1.      Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2.      Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3.      Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

Assim:

V(seção) V(base)

=

A(seção) A(piram)

·

h H

A(seção) A(base)

=

h² H²

Então:

V(seção) V(base)  = h³ H³

Cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Área da base: Ab= π r²

Área lateral: Al=π.r.g

geretriz de um cone: g²=h²+r²

Área total: At=π.r(g+r)

Volume: V=π r² h /3

Classificação dos cones:

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Um vídeo para complementar nosso estudo!

CILINDROS

Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz. 

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: 

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. 
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". 
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro". 
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. 
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. 
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro. 
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro. 
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. 

As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano. 

Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma. 

Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

 

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. 
2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. 
3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado. 

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. 

V = A(base) h 

Se a base é um círculo de raio r, e pi, então: 

V = pi r² h 

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base. 

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) 

A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²

A(total) = 2 pi r(h+r)

Prismas

Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos). 

Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos da base, isto é, é igual ao número de arestas da base. 

 A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim: 

• se as bases são triângulos, o prisma chama-se triangular;  
• se forem quadrados, o prisma chama-se quadrangular;  
• se forem pentágonos, o prisma chama-se pentagonal;  
• e assim por diante.
  
  
  
  
  
  Prisma reto é um prisma que tem as arestas laterais perpendiculares às bases. 
  Prisma oblíquo é um prisma em que as arestas laterais não são perpendiculares às bases. 

  Prisma regular é um prisma reto em que as bases são dois polígonos regulares. 

  Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo.
  
  Um dos exemplos mais conhecidos são os cubos mágicos, o gelo. 
  Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.

  

  
  
  Um dos exemplos mais conhecidos são os paralelepípedos usados nas ruas. 
  Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:

  A) paralelepípedo oblíquo

   B)paralelepípedo reto

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo. 

  Num prisma temos os seguintes elementos: 

  • bases (polígonos);  
  • faces (paralelogramos);  
  • arestas das bases (lados das bases);  
  • arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);  
  • vértices (pontos de encontro das arestas);  
  • altura (distância entre os planos das bases). 
    
    Áreas 
     Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: 
    a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces; 
    b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. 
          No prisma regular, temos: 
    AL = n. AF (n = número de lados do polígono da base) 
    c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; 
    d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases 
    AT = AL + 2AB  
    Volume 
    Num prisma o volume é calculado multiplicando a área da base pela medida da altura.